✅ Geometrische distributieformule - Calculator (met Excel-sjabloon)

Wat is de geometrische distributieformule?

Geometrische distributieformule (inhoudsopgave)

Formule
Voorbeelden
Rekenmachine

Wat is de geometrische distributieformule?

In de statistiek en de waarschijnlijkheidstheorie wordt gezegd dat een willekeurige variabele alleen een geometrische verdeling heeft als de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie kan worden uitgedrukt als een functie van de kans op succes en het aantal proeven. In feite helpt de geometrische verdeling bij het bepalen van de waarschijnlijkheid van het eerste optreden van succes na een bepaald aantal proeven gezien de succeskans. Als de succeskans 'p' is, kan de formule voor de waarschijnlijkheid van het eerste optreden van succes na 'k'-proeven worden afgeleid door de succeskans te vermenigvuldigen met één minus de succeskans die wordt verhoogd tot de macht van een aantal proeven min één. Wiskundig wordt de kansdichtheidsfunctie weergegeven als,

P(X=k) = p * (1 – p) ^{(k – 1)}

Waar,

p = kans van slagen
k = Trial waarbij het eerste succes optreedt

Voorbeelden van geometrische distributieformule (met Excel-sjabloon)

Laten we een voorbeeld nemen om de berekening van geometrische distributie beter te begrijpen.

U kunt deze Excel-sjabloon voor geometrische distributieformule hier downloaden - Excel-sjabloon voor geometrische distributieformule

Geometrische distributieformule - Voorbeeld # 1

Laten we het voorbeeld nemen van een batsman die de eerste zeven ballen niet kon scoren, maar een grens raakte van de 8e aflevering waarmee hij geconfronteerd werd. Als de kans dat de batsman een grens raakt 0, 25 is, bereken dan de kans dat de batsman de eerste grens raakt na acht ballen.

Oplossing:

Waarschijnlijkheid wordt berekend met behulp van de geometrische distributieformule zoals hieronder gegeven

P = p * (1 - p) ^{(k - 1)}

Waarschijnlijkheid = 0, 25 * (1 - 0, 25) ^{(8 - 1)}
Waarschijnlijkheid = 0, 0334

Daarom is er een kans van 0, 0334 dat de batsman na acht ballen de eerste grens raakt.

Geometrische distributieformule - Voorbeeld # 2

Laten we nu naar de voetbalsport gaan en het voorbeeld nemen van een voetballer die een doelpunt scoort met een waarschijnlijkheid van 0, 7 wanneer hij de bal voor zichzelf krijgt. Bepaal de kans dat de voetballer zijn eerste doelpunt scoort na:

8 pogingen
6 pogingen
4 pogingen
2 pogingen

Oplossing:

8 pogingen

Waarschijnlijkheid wordt berekend met behulp van de geometrische distributieformule zoals hieronder gegeven

P = p * (1 - p) ^{(k - 1)}

Waarschijnlijkheid = 0, 7 * (1 - 0, 7) ^{(8 - 1)}
Waarschijnlijkheid = 0, 00015

6 pogingen

Waarschijnlijkheid wordt berekend met behulp van de geometrische distributieformule zoals hieronder gegeven

P = p * (1 - p) ^{(k - 1)}

Waarschijnlijkheid = 0, 7 * (1 - 0, 7) ^{(6 - 1)}
Waarschijnlijkheid = 0.0017

4 pogingen

Waarschijnlijkheid wordt berekend met behulp van de geometrische distributieformule zoals hieronder gegeven

P = p * (1 - p) ^{(k - 1)}

Waarschijnlijkheid = 0, 7 * (1 - 0, 7) ^{(4 - 1)}
Waarschijnlijkheid = 0, 0189

2 pogingen

Waarschijnlijkheid wordt berekend met behulp van de geometrische distributieformule zoals hieronder gegeven

P = p * (1 - p) ^{(k - 1)}

Waarschijnlijkheid = 0, 7 * (1 - 0, 7) ^{(2 - 1)}
Waarschijnlijkheid = 0, 21

Daarom is in het bovenstaande voorbeeld te zien dat de kans op eerste succes afneemt met de toename van het aantal mislukte pogingen, d.w.z. de kans op eerste succes daalde van 0, 21 na 2 pogingen naar 0, 00015 na 8 pogingen.

Uitleg

De formule voor geometrische verdeling wordt afgeleid met behulp van de volgende stappen:

Stap 1: Bepaal eerst de kans op succes van het evenement en wordt aangeduid met 'p'.

Stap 2: Vervolgens kan de faalkans worden berekend als (1 - p).

Stap 3: Bepaal vervolgens het aantal proeven waarbij de eerste instantie van succes wordt geregistreerd of de kans op succes gelijk is aan één. Het aantal proeven wordt aangeduid met 'k'.

Stap 4: Ten slotte kan de formule voor de waarschijnlijkheid van het eerste succes na 'k'-proeven worden afgeleid door eerst de waarschijnlijke mislukkingen, dwz (1 - p), te berekenen tot het aantal mislukte pogingen vóór het eerste succes, dwz (k - 1), en vervolgens het resultaat te vermenigvuldigen met het succes in de volgende poging, zoals hieronder weergegeven.

P (X = k) = p * (1 - p) ^{(k - 1)}

Relevantie en gebruik van geometrische distributieformule

Het concept van geometrische distributie vindt toepassing in de bepaling van de waarschijnlijkheid van eerste succes na een bepaald aantal pogingen. In feite is het geometrische distributiemodel een speciaal geval van de negatieve binomiale verdeling en het is alleen van toepassing op die reeks onafhankelijke onderzoeken waar slechts twee resultaten mogelijk zijn in elk onderzoek. Opgemerkt moet worden dat, volgens dit distributiemodel, elke toename van een aantal mislukte pogingen de kans op eerste succes aanzienlijk vermindert. In dergelijke gevallen kan de verdeling worden gebruikt om het aantal fouten vóór het eerste succes te bepalen.